Question

14．（1）解方程：$3A_x^3=2A_{x+1}^2+12C_x^2$；
（2）复数z满足$|z|-\overline z=\frac{5}{1-2i}，求z$．

Answer 1

分析 （1）由排列数公式整理得3x²-17x+10=0，由此能求出结果．
（2）令z=a+bi，利用得数性质列出方程组，能求出结果．

解答 解：（1）∵$3A_x^3=2A_{x+1}^2+12C_x^2$，
∴3x（x-1）（x-2）=2（x+1）x+12×$\frac{x（x-1）}{2}$，
∴3x²-17x+10=0，
解得x=$\frac{2}{3}$或x=5，
∴x≥3，且x∈N，∴x=5．
（2）令z=a+bi，
∵复数z满足$|z|-\overline z=\frac{5}{1-2i}$，
∴$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$-（a-bi）=1+2i，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}-a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{3}{2}$，b=2，
∴z=$\frac{3}{2}+2i$．

点评 本题考查实数及复数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式和复数性质的合理运用．