Question

在双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1中，过焦点垂直于实轴的弦长为

2 3

3

，焦点到一条渐近线的距离为1，
（1）求该双曲线的方程；
（2）若直线L：y=kx+m（m≠0，k≠0）与双曲线C交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过双曲线C的右顶点．求证：直线L过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用过焦点垂直于实轴的弦长为

2 3

3

，焦点到一条渐近线的距离为1，建立方程，求出a，b，即可求该双曲线的方程；
（2）联立直线L：y=kx+m（m≠0，k≠0）与双曲线，利用韦达定理，结合以AB为直径的圆过双曲线的右顶点M（

3

，0），即可证明直线L过定点，并求出该定点的坐标．

解答： 解：（1）由题意，得

2b2

a

=

2 3

3

，

bc

a2+b2

=1，
解得：a=

3

，b=1，
∴所求双曲线方程为

x2

3

-y2=1．
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
联立直线L：y=kx+m（m≠0，k≠0）与双曲线，得（1-3k²）x²-6kmx-3（m²+1）=0，
△＞0，化简，得m²+1-3k²＞0，
∴x₁+x₂=

6km

1-3k2

，x₁x₂=-

3(m2+1)

1-3k2

，
∵以AB为直径的圆过双曲线的右顶点M（

3

，0），
∴

MA

•

MB

=0，
即（x₁-

3

）（x₂-

3

）+y₁y₂=0，
即（k²+1）x₁x₂+（km-

3

）（x₁+x₂）+m²+3=0，
整理，得m²+3

3

km+6k²=0，
∴m=-

3

k或m=-2

3

k，
当m=-

3

k时，L的方程为y=k（x-

3

），直线过定点（

3

，0），与已知矛盾；
当m=-2

3

k时，L的方程为y=k（x-2

3

），直线过定点（2

3

，0）； 
∴直线L过定点，定点坐标为（2

3

，0）．

点评：本题考查双曲线的性质与方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．