题目内容
已知矩阵A=
，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
，属于特征值1的一个特征向量为α2=
．
（1）求矩阵A；
（2）求出直线x+y-1=0在矩阵A对应的变换作用下所得曲线的方程．
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（1）求矩阵A；
（2）求出直线x+y-1=0在矩阵A对应的变换作用下所得曲线的方程．
考点：矩阵特征值的定义,几种特殊的矩阵变换
专题：矩阵和变换
分析：本题（1）可以利用矩阵的特征值和特征向量的意义列出相应的方程，解方程得到本题结论；（2）根据矩阵变换下相关点的坐标关系，利用代入法求出曲线的方程，得到本题结论．
解答：
解：（1）∵矩阵A=
，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
，属于特征值1的一个特征向量为α2=
，
∴
•
=6
，
•
=
，
∴
，
∴
．
∴A=
．
（2）设直线x+y-1=0上一点P（x，y）在矩阵A的作用下得到曲线xy=1上一点P′（x′，y′），
∴
=
，
∴
，即
，
将上式代入x+y-1=0得：x′-
y′-1=0，
∴2x-y-2=0．
∴直线x+y-1=0在矩阵A对应的变换作用下所得曲线的方程为2x-y-2=0．
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∴
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∴
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∴
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∴A=
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（2）设直线x+y-1=0上一点P（x，y）在矩阵A的作用下得到曲线xy=1上一点P′（x′，y′），
∴
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∴
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将上式代入x+y-1=0得：x′-
| 1 |
| 2 |
∴2x-y-2=0．
∴直线x+y-1=0在矩阵A对应的变换作用下所得曲线的方程为2x-y-2=0．
点评：本题考查了矩阵的特征值和特征向量以及矩阵变换下曲线的方程，本题难度不大，属于基础题．
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