Question

设S_n等比数列{a_n}的前n项和，且a2=

1

9

，S2=

4

9

（1）求数列{a_n}的通项；
（2）设bn=

n

an

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）设首项为a₁，公比为q，由a₂=

1

9

，S₂=

4

9

可求得

a1= 1 3 q= 1 3

，于是可求数列{a_n}的通项；
（2）由b_n=

n

an

=

n

1 3n

=n•3ⁿ，知S_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，利用错位相减法即可求得数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）设首项为a₁，公比为q，由a₂=

1

9

，S₂=

4

9

，
得：

a1q= 1 9 a1+a1q= 4 9

，
解得：

a1= 1 3 q= 1 3

，
∴a_n=

1

3n

；．                          
（2）∵b_n=

n

an

=

n

1 3n

=n•3ⁿ，
∴S_n=3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ，①
∴3S_n=3²+2×3³+3×3⁴+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，②
②-①得2S_n=n•3ⁿ⁺¹-（3+3²+3³+…+3ⁿ）=n•3ⁿ⁺¹-

3(1-3n)

1-3

=

(2n-1)×3n+1

2

+

3

2

，
∴S_n=

(2n-1)×3n+1

4

+

3

4

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比数列的通项公式与错位相减法求和，考查方程思想与运算能力，属于中档题．