Question

设正实数x，y，z满足x²-3xy+4y²-z=0，则当

z

xy

取得最小值时，x+2y-z的最大值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：综合题

分析：将z=x²-3xy+4y²代入

z

xy

，利用基本不等式化简即可得到当

z

xy

取得最小值时的条件，用x，z表示y后利用配方法求得x+2y-z的最大值．

解答： 解：∵x²-3xy+4y²-z=0，
∴z=x²-3xy+4y²，又x，y，z为正实数，
∴

z

xy

=

x

y

+

4y

x

-3≥2

x y • 4y x

-3=1（当且仅当x=2y时取“=”），
即x=2y（y＞0），
∴x+2y-z=2y+2y-（x²-3xy+4y²）
=4y-2y²
=-2（y-1）²+2≤2．
∴x+2y-z的最大值为2．
故答案为：2．

点评：本题考查基本不等式，将z=x²-3xy+4y²代入

z

xy

，求得

z

xy

取得最小值时x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．