Question

（Ⅰ）求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为2

7

的圆的方程．
（Ⅱ）设定点M（-3，4），动点N在圆x²+y²=4上运动，以OM、ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,直线与圆

分析：（I）根据题意，设圆心（a，3a），可得半径r=3|a|，点到直线的距离公式与垂径定理建立关于a的方程，解出a的值，从而得到圆心坐标和半径，由此求出圆的方程．
（II）设P（x，y）、N（x₀，y₀），根据中点坐标公式算出OP、MN中点坐标关于x、y和x₀、y₀的式子，根据平行四边形对角线互相平分建立关系式，解出用x、y表示x₀、y₀的式子，最后将点N坐标关于x、y的式子代入已知条件的圆方程，化简即得所求点P的轨迹方程．最后检验去除杂点，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）设圆心为（a，3a），
由圆与x轴相切可得圆的半径r=3|a|．
∵圆心到直线的距离d=

|a-3a|

2

=

2

a，圆被直线x-y=0截得的弦长为2

7

，
∴根据垂径定理，得r²=d²+（

7

）²，
即9a²=2a²+7，解得a=±1．
由此可得所求圆的圆心为（1，3）或（-1，-3），半径r=3．
∴圆C的方程为 （x+1）²+（y+3）²=9 或 （x-1）²+（y-3）²=9．
（Ⅱ）设P（x，y），圆上的动点N（x₀，y₀），则
线段OP的中点坐标为（

x

2

，

y

2

），线段MN的中点坐标为（

x0-3

2

，

y0+4

2

），
又∵平行四边形的对角线互相平分，
∴

x 2 = x0-3 2 y 2 = y0+4 2

，可得x₀=x+3且y₀=y-4，
∴N坐标为（x+3，y-4），
N点坐标应满足圆的方程，代入化简可得（x+3）²+（y-4）²=4，
直线OM与轨迹相交于两点（-

9

5

，

12

5

）和（-

21

5

，

28

5

），不符合题意，舍去
因此，所求点P的轨迹方程为（x+3）²+（y-4）²=4（点（-

9

5

，

12

5

）和（-

21

5

，

28

5

）除外）．

点评：本题求满足条件的圆与动点轨迹的方程．着重考查了直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系等知识，考查了动点的轨迹方程及其应用，属于中档题．