在直角坐标系xOy中.以坐标原点为极点.x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C1的极坐标方程为:ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3.曲线C2的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$．(1)求曲线C1和C2的直角坐标方程,(1)设曲线C1和C2交于两点A.B.求以线� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C₁的极坐标方程为：ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3，曲线C₂的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）求曲线C₁和C₂的直角坐标方程；
（1）设曲线C₁和C₂交于两点A，B，求以线段AB为直径的圆的直角坐标方程．

分析（I）把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3即可化为直角坐标方程．曲线C₂参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t为参数）消去参数化为直角坐标方程．
（II）直线方程与椭圆方程联立可得交点坐标，利用中点坐标公式、圆的标准方程即可得出．

解答解：（I）曲线ρ²cos²θ+3ρ²sin²θ=3化为直角坐标方程为：x²+3y²=3，即$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}$=1；
曲线C₂参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{3}t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t为参数）化为直角坐标方程为：x=-$\sqrt{3}$（y-1），即x+$\sqrt{3}$y-$\sqrt{3}$=0．
（II）$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\\{x=-\sqrt{3}（y-1）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=0}\end{array}\right.$
即A（0，1），B（$\sqrt{3}$，0），线段AB的中点为M$（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}）$，则
以线段AB为直径的圆的直角坐标方程为 $（x-\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}$=1．

点评本题考查了极坐标化为直角坐标、三角函数求值、中点坐标公式、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．