Question

3．设△ABC的内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，若向量$\overrightarrow{m}$=（a-b，1）与向量$\overrightarrow{n}$=（a-c，2）共线，且∠A=120°．
（1）a：b：c；
（2）若△ABC外接圆的半径为14，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用向量共线的性质可得2b=a+c，设a=b-d，c=b+d，由余弦定理解得d=-$\frac{2b}{5}$，进而可得a=$\frac{7b}{5}$，c=$\frac{3b}{5}$，从而可求a：b：c．
（2）由正弦定理可求a，由（1）可求b，c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$与向量$\overrightarrow{n}$共线，可得：$\frac{a-b}{a-c}=\frac{1}{2}$，
∴2b=a+c，
设a=b-d，c=b+d，由已知，cosA=-$\frac{1}{2}$，即$\frac{{b}^{2}+（b+d）^{2}-（b-d）^{2}}{2b（b+d）}$=-$\frac{1}{2}$，
d=-$\frac{2b}{5}$，从而a=$\frac{7b}{5}$，c=$\frac{3b}{5}$，
∴a：b：c=7：5：3．
（2）由正弦定理$\frac{a}{sinA}$=2R，得a=2RsinA=2×14×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=14$\sqrt{3}$，
由（1）设a=7k，即k=2$\sqrt{3}$，
所以b=5k=10$\sqrt{3}$，c=3k=6$\sqrt{3}$，
所以S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×10$\sqrt{3}$×6$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=45$\sqrt{3}$，
所以△ABC的面积为45$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了向量共线的性质，余弦定理，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．