Question

【题目】已知椭圆的两个焦点和短轴的两个顶点构成的四边形是一个正方形,且其周长为.

（Ⅰ）求椭圆的方程;

（Ⅱ）设过点的直线与椭圆相交于两点,点关于原点的对称点为,若点总在以线段为直径的圆内,求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（I）由题意列出方程组求出， ，由此能求出椭圆的方程．(Ⅱ)当直线的斜率不存在时， 的方程为， ，点B在椭圆内，由，得，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、由此能求出的取值范围.

试题解析：（I）解：由题意，得： 又因为

解得，所以椭圆C的方程为.

（II）当直线的斜率不存在时，由题意知的方程为x=0，

此时E，F为椭圆的上下顶点，且，

因为点总在以线段为直径的圆内，且，

所以，故点B在椭圆内.

当直线的斜率存在时，设的方程为.

由方程组得，

因为点B在椭圆内，

所以直线与椭圆C有两个公共点，即.

设，则.

设EF的中点，则，

所以.所以，

，

因为点D总在以线段EF为直径的圆内，所以对于恒成立.

所以.

化简，得，整理，得，

而（当且仅当k=0时等号成立）所以，

由m>0，得.综上，m的取值范围是.