题目内容
【题目】已知一个动圆与两个定圆
和
均相切,其圆心的轨迹为曲线C.
(1) 求曲线C的方程；
(2) 过点F（
)做两条可相垂直的直线
，设
与曲线C交于A,B两点, 
与曲线 C交于C,D两点，线段AC，BD分别与直线
交于M，M,N两点。求证|MF|:|NF|为定值.
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）设动圆圆心为
，半径为
，根据题设条件可得
， 
， 
，再结合椭圆的第一定义即可得出曲线
的方程；（2）分别讨论
， 
是否平行于坐标轴，当不平行于坐标轴时，设出
， 
，将方程代入到曲线
的方程，结合韦达定理，求出
， 
点的坐标，即可求出
为定值.
试题解析：（1）设动圆圆心为
，半径为
∵两个定圆为
和
∴其圆心分别为
， 
，半径分别为
， 
∵
∴两个定圆相内含
∵动圆
与两个圆均相切
∴
， 
∴
∴动点
的轨迹为以
， 
为焦点，以4为长轴长的椭圆
∴曲线
的方程为
（2）当
， 
平行于坐标轴时，可知
当
， 
不平行于坐标轴时，设
， 
将
的方程代入曲线
的方程中消去
化简得： 
∴
， 
同理可得
， 
由直线
中令
可得
①
∵
与曲线
交于
， 
两点， 
与曲线
交于
， 
两点
∴
， 
代入①式化简得
∴
同理可得
∵
∴
综上所述， 
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