Question

【题目】设函数

(1)求函数的单调增区间;

(2)当时,记,是否存在整数,使得关于的不等式有解?若存在,请求出的最小值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】试题分析：

(1) ，讨论可得函数的单调性；

(2) ，判断函数的单调性并求出最值,则易得结论.

试题解析：

(1

当时,由,解得;

当时,由,解得;

当时,由,解得;

当时,由,解得;

综上所述,当时, 的单调递增区间为;

当时, 的单调递增区间为;

当时, 的单调递增区间为;

(2)方法一:当时, ,

在单调递增,

,

所以存在唯一实数,使得,即,

=

记函数,则,

在上单调递增,

所以,即.

,且为整数,得,

所以存在整数满足题意,且的最小值为0.

方法二:当时, ,

由得,当时,不等式有解,

下面证明:当时,不等式恒成立,

即证恒成立.

显然,当时,不等式恒成立.

只需证明当时, 恒成立.

即证明,令,

,由,得.

当;当;

= ,

当时; 恒成立.

综上所述,存在整数满足题意,且的最小值为0.