Question

【题目】[选修4－5：不等式选讲](10分)

已知函数f(x)＝2|x－2|＋3|x＋3|.

(Ⅰ)解不等式：f(x)>15；

(Ⅱ)若函数f(x)的最小值为m，正实数a，b满足4a＋25b＝m，求＋的最小值，并求出此时a，b的大小．

Answer 1

【答案】(1) (－∞，－4)∪(2，＋∞) (2)

【解析】试题分析：（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；

（2）求出f（x）的最小值m，得到4a＋25b＝10，利用均值不等式求出＋的最小值．

试题解析：

(Ⅰ)依题意，2|x－2|＋3|x＋3|>15；

当x<－3时，原式化为2(2－x)－3(x＋3)>15，解得x<－4；

当－3≤x≤2时，原式化为2(2－x)＋3(x＋3)>15，解得x>2，故不等式无解；

当x>2时，原式化为2(x－2)＋3(x＋3)>15，解得x>2；

综上所述，不等式的解集为(－∞，－4)∪(2，＋∞).

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，当x＝－3时，函数f(x)有最小值10，故4a＋25b＝10，

故＋＝ (4a＋25b)＝≥，

当且仅当＝时等号成立，此时a＝，b＝.