Question

若函数f（x）=x²-2x+2．
（1）求x∈[0，3]时，求f（x）的最值；
（2）求 x∈[t，t+1]时f（x）的最小值g（t）；
（3）求（2）中函数g（t）当t∈[-3，-2]时的最值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接利用二次函数的对称轴以及开口方向，求出函数的最值即可．
（2）主要是分三种情况（区间在对称轴的左边、右边、之间）讨论可得二次函数的最小值即得g（t）的函数表达式．
（3）利用（2）再对分段函数在[-3，-2]求出最值即可得．

解答： 解：（1）函数的对称轴为x=1，二次函数的开口向上，所以函数的最小值f（1）=1，最大值f（3）=5
（2）f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1
①当t+1≤1，即t≤0时，f（x）在[t，t+1]上单调递减，
∴g（t）=f（t+1）=（t+1）²-2（t+1）+2=t²+1    …3分
②当t＜1＜t+1，即0＜t＜1时，g（t）=f（1）=1     …5分
③当t≥1时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，
∴g（t）=f（t）=t²-2t+2     …8分
综上所述，g（t）=

t2+1，t≤0 1，0＜t＜1 t2-2t+2，t≥1

  …10分
当t∈（-∞，0]时，g（t）=t²+1为减函数，
∴在[-3，-2]上，g（t）=t²+1也为减函数
∴g（t）_min=g（-2）=5，
g（t）_max=g（-3）=10．   …14分．

点评：本题考点是二次函数的图象，考查通过二次函数的图象求二次函数在闭区间上的最值，求解本题主要依据函数的单调性，要根据二次函数的图象判断出所研究区间的单调性，确定最值在那个位置取到，再求出最值，本题中所给的区间是一个不定的区间，故解题时要根据区间与对称轴的位置进行分类讨论，主要是分三种情况（区间在对称轴的左边、右边、之间），解题时注意总结分类讨论思想在求解本题中的作用．属于中档题．