Question

长度为3的线段AB的两个端点A，B分别在x，y轴上移动，点P在直线AB上且满足

BP

=2

PA

（1）求点P的轨迹方程；
（2）记点P的轨迹为曲线C，斜率为1的直线?交曲线C于E，F两点，线段EF的垂直平分线通过点Q（x₀，0），求△QEF面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）利用

BP

=2

PA

，确定A，B，P坐标之间的关系，由|AB|=3，即可求点P的轨迹方程；
（2）设直线?的方程为y=x+b，联立椭圆方程，可得

5

4

y2-

b

2

y+

b2-4

4

=0，结合韦达定理，基本不等式可得△QEF面积S=

1

2

（y₁+y₂）|y₁-y₂|的最大值．

解答： 解：（1）设A（m，0），B（0，n），P（x，y）
由

BP

=2

PA

，得x=2（m-x），y-n=2（0-y），
即m=

3

2

x，n=3y，
又由|AB|=

m2+n2

=3得：

x2

4

+y2=1，即为点P的轨迹方程．
（2）设直线?的方程为y=x+b，E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
由

y=x+b x2 4 +y2=1

得：

5

4

y2-

b

2

y+

b2-4

4

=0，
则y₁+y₂=

2b

5

，y₁y₂=

b2-4

5

，
则△QEF面积S=

1

2

（y₁+y₂）|y₁-y₂|=

1

2

（y₁+y₂）

(y1+y2)2-4y1y2

=

b

5

4b2 25 - 4(b2-4) 5

=

b

5

16(5-b2) 25

=

4

25

b2(5-b2)

≤

4

25

×

5

2

=

2

5

，
即△QEF面积的最大值为

2

5

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，综合性强．