Question

已知二次函数y=f（x）的图象与y轴交于点C（0，-3），最小值为-4，且对于任意实数x都有f（x+1）=f（1-x）成立．
（1）求二次函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在[-1，2]上的最大值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设二次函数f（x）的解析式为 a（x-m）²+n，则由题意可得 m=1，n=-4，再根据y=f（x）的图象与y轴交于点C（0，-3），求得a=1，可得二次函数f（x）的解析式（2）在[-1，2]上，利用二次函数的性质求得函数的最大值．

解答： 解：（1）设二次函数f（x）的解析式为 a（x-m）²+n，则由题意可得 m=1，n=-4，
再根据y=f（x）的图象与y轴交于点C（0，-3），可得 a（0-1）²-4=-3，求得a=1，
故二次函数f（x）的解析式为f（x）=（x-1）²-4．
（2）在在[-1，2]上，当x=1时，函数f（x）取得最小值为-4，当x=-1时，函数取得最大值为0．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．