Question

已知三棱锥A-BCD的各条棱都相等，M、N分别为BC、AD的中点，求异面直线MN与BD所成的角．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：

分析：根据题意：画出几何图形，在三棱锥A-BCD中，要求异面直线MN与BD所成的角，可以通过在平面BCD中作CD的中点E，连接ME得到ME∥BD，连接NE，即通过做平行线把空间问题平面化，然后解三角形进一步求出∠NME的大小，即求异面直线MN与BD所成的角
                                          

解答： 解：
在平面BCD中作CD的中点E，连接ME，得到ME∥BD，连接NE、MD、MA
设三棱锥A-BCD的各条棱长为a
∵M为BC的中点、N为AD的中点
∴△AMD为等腰三角形 MN⊥AD 
根据题意得到：ND=

a

2

  MD=

3

2

a
∴MN=

2

2

a
∵M、N分别为BC、AD的中点、E为CD的中点
∴NE=ME=

1

2

a
在△MEN中，ME²+NE²=MN²
∴∠NME=45°
即异面直线MN与BD所成的角为45°


故异面直线MN与BD所成的角为45°

点评：本题通过连接中点转化为平行线，把空间问题平面化，进一步利用解三角形知识求的结果