Question

已知双曲线C的焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0），且经过P（2，3）．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）问是否存在实数m使得直线l：y=mx+1交双曲线C于A，B两点，且线段AB的中点落在直线x+2y=0上，若存在求m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用待定系数法，求双曲线的标准方程；
（2）y=mx+1代入x2-

y2

3

=1，求出线段AB的中点坐标，代入直线x+2y=0，求出m，再验证．

解答： 解：（1）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
则

a2+b2=4 4 a2 - 9 b2 =1

∴a=1，b=

3

，
∴双曲线的标准方程为x2-

y2

3

=1；
（2）y=mx+1代入x2-

y2

3

=1，整理可得（3-m²）x²-2mx-4=0，
∴线段AB的中点坐标为（

m

3-m2

，

3

3-m2

），
代入直线x+2y=0，可得

m

3-m2

+2×

3

3-m2

=0，
∴m=-6，此时△＜0，故不存在．

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．