Question

已知tanθ和tan（

π

4

-θ）是关于x的一元二次方程x²-kx+2k-5=0的两个根，其中θ∈（0，

π

2

）．
（1）求k的值及方程的两个根；
（2）求

5sin2 θ 2 +8sin θ 2 •cos θ 2 +11cos2 θ 2 -8

2 sin(θ- π 4 )

的值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,两角和与差的正切函数

专题：计算题,三角函数的求值

分析：（1）利用韦达定理，结合tan

π

4

=tan[θ+（

π

4

-θ）]，求k的值及方程的两个根；
（2）先求出tanθ=1+

2

，再化简，即可求值．

解答： 解：（1）∵tanθ和tan（

π

4

-θ）是关于x的一元二次方程x²-kx+2k-5=0的两个根，
∴tanθ+tan（

π

4

-θ）=k，tanθtan（

π

4

-θ）=2k-5，
∴tan

π

4

=tan[θ+（

π

4

-θ）]=

k

1-(2k-5)

=1，
∴k=2，
∴方程x²-kx+2k-5=0的两个根为x=1±

2

；
（2）∵θ∈（0，

π

2

），
∴tanθ＞0，tanθ=1+

2

，
∴

5sin2 θ 2 +8sin θ 2 •cos θ 2 +11cos2 θ 2 -8

2 sin(θ- π 4 )

=

4sinθ+3cosθ

sinθ-cosθ

=

4tanθ+3

tanθ-1

=4+

7 2

2

点评：本题考查韦达定理，和角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题．