Question

3．在三棱锥P-ABC中，AP=AB，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC=90°，D，E分别为PB，BC的中点．
（1）求证：DE∥平面PAC；
（2）求证：DE⊥AD．

Answer 1

分析 （1）推导出DE∥PC，由此能证明DE∥平面PAC．
（2）推导出AD⊥PB，BC⊥AB，从而AD⊥BC，进而AD⊥平面PBC，由此能证明DE⊥AD．

解答 证明：（1）因为D，E分别为PB，BC的中点，
所以DE∥PC，…（2分）
又DE?平面PAC，PC?平面PAC，
故DE∥平面PAC．…（5分）
（2）因为AP=AB，PD=DB，所以AD⊥PB，…（7分）
因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，
又BC⊥AB，BC?平面ABC，所以BC⊥平面PAB，…（10分）
因为AD?平面PAB，所以AD⊥BC，…（11分）
又PB∩BC=B，PB，BC?平面ABC，故AD⊥平面PBC，…（13分）
因为DE?平面PBC，所以DE⊥AD．…（14分）

点评 本题考查线面平行、线线垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．