Question

已知函数f（x）=

1-|x+1|，(x∈(-2，0]) f(x-2)，(x∈(0，+∞))

（1）求f（3）；
（2）求函数y=2f²（x）-3f（x）+1在[-2，2]上的零点；
（3）写出函数y=f（x）的单调递增区间（不用写过程）．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数零点的判定定理,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据分段函数f（x），f（3）=f（1）=f（-1），而f（-1）=1-|-1+1|=1，从而便求出了f（3）；
（2）先求出该函数在（-2，0]上的零点，再根据解析式求出在（0，2]上的零点；
（3）根据f（x）解析式可看出：该函数为周期为2的周期函数，所以去绝对值，求出f（x）在（-2，0]上的单调递增区间，根据周期求出它在定义域（-2，+∞）上的单调增区间即可．

解答： 解：（1）由f（x）解析式，f（3）=f（1）=f（-1）=1；
（2）令2f²（x）-3f（x）+1=0；
∴（2f（x）-1）（（f（x）-1）=0；
∴f(x)=

1

2

，或1；
∴1-|x+1|=

1

2

，或1；
∴x=-

3

2

，-

1

2

，或-1；
又f（1）=f（-1），f(

3

2

)=f(-

1

2

)，f(

1

2

)=f(-

3

2

)；
∴该函数在[-2，2]上的零点为-

3

2

，-1，-

1

2

，

1

2

，1，或

3

2

；
（3）由f（x）解析式知该函数周期为2，f（x）=1-|x+1|=

-x x∈[-1+2n，2n] x+2 x∈(-2+2n，-1+2n)

，n∈N；
∴y=f（x）的单调递增区间为（-2+2n，-1+2n），n∈N．

点评：考查求分段函数函数值的方法，函数零点的概念，及求分段函数零点的方法，以及求分段函数、周期函数单调区间的方法与过程．