Question

已知数列{a_n}中，a₁=20，当n≥2时，a_n-a_n-1=-2，
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；
（2）求使S_n最大的序号n的值．
（3）求数列{|a_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知可知数列{a_n}为等差数列，公差d=-2，a₁=20，然后代入等差数列的通项公式和前n项和公式得答案；
（2）直接由通项大于等于求得n≤11，由此得到使S_n最大的序号n的值；
（3）写出数列{|a_n|}的通项公式，然后分类求得数列{|a_n|}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）∵当n≥2时，a_n-a_n-1=-2，
∴数列{a_n}为等差数列，公差d=-2，a₁=20，
∴a_n=a₁+（n-1）d=20-2（n-1）=22-2n．
Sn=

n(a1+an)

2

=

n(20+22-2n)

2

=-n2+21n；
（2）令a_n＞0，得22-2n≥0，∴n≤11，
故{a_n}中前10项为正，第11项为零，从第12项开始为负，故使S_n最大的n=10或n=11；
（3）|an|=

22-2n，n≤11 2n-22，n＞11

．
当n≤11时，Tn=Sn=-n2+21n；
当n＞11时，T_n=a₁+a₂+…+a₁₁-a₁₂-a₁₃-…-a_n
=-（a₁+a₂+…+a_n）+2S₁₁=-Sn+2S11=n2-21n+2×110=n2-21n+220．
∴Tn=

-n2+21n，n≤11 n2-21n+220，n＞11

．

点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．