Question

【题目】已知函数.

（1）试讨论的单调性；

（2）若函数在定义域上有两个极值点，试问：是否存在实数，使得？

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）存在；

【解析】

（1）求得函数的导数，结合基本不等式，分类讨论，即可得出函数的单调区间；

（2）由函数在定义域上有两个极值点，即方程在上有两个不相等的实数根，转化为方程在上有两个不相等实数根，结合二次函数的性质，求得，令，即可求解.

（1）由题意，函数的定义域为，

则，

因为，当且仅当，即时取“等号”，

所以，

当时，在上恒成立，则此时在上单调递增，

当时，，

令，解得，，

由，

而，故.

由可得或，

即此时在，上单调递增；

由可得，

即此时在上单调递减；

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在，上单调递增，在上单调递减.

（2）因为，

由题知方程在上有两个不相等的实数根，

即方程在上有两个不相等实数根，

因此有，解得，

这时，，

于是

.

令，解得，满足.

所以存在实数，使得.