Question

【题目】如图，点为圆：上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接延长至点，使得，点的轨迹记为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）若点，分别位于轴与轴的正半轴上，直线与曲线相交于，两点，且，试问在曲线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在；详见解析

【解析】

（1）设，，，通过，即为的中点，转化求解，点的轨迹的方程．

（2）设直线的方程为，先根据，可得，①，再根据韦达定理，点在椭圆上可得，②，将①代入②可得，该方程无解，问题得以解决

（1）设，，则，，

由题意知，所以为中点，

由中点坐标公式得，即，

又点在圆：上，故满足，得.

曲线的方程.

（2）由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，

因为，故，即①，

联立，消去得：，

设，，

，，

，

因为四边形为平行四边形，故，

点在椭圆上，故，整理得②，

将①代入②，得，该方程无解，故这样的直线不存在.