Question

【题目】已知函数f(x)＝ln (x＋1)－ －x，a∈R.

(1)当a>0时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若存在x>0，使f(x)＋x＋1<－ (a∈Z)成立，求a的最小值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）5.

【解析】试题分析：（1）先求导数，转化研究二次函数符号变化规律：当判别式非正时，导函数不变号；当判别式大于零时，定义域上有两个根 ，导函数符号先负再正再负（2）先利用参变分离法化简不等式得，转化求函数最小值,利用导数可得有唯一极小值，也是最小值，再根据极点条件求最小值取值范围，进而可得a的最小值．

试题解析： 解　(1)f′(x)＝，x>－1.

当a≥时，f′(x)≤0，∴f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．

当0<a<时，

当－1<x<时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当<x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减．

综上，当a≥时，f(x)的单调递减区间为(－1，＋∞)；

当0<a<时，f(x)的单调递减区间为，，

f(x)的单调递增区间为.

(2)原式等价于ax>(x＋1)ln (x＋1)＋2x＋1，

即存在x>0，使成立．

设，x>0，

则，x>0，

设h(x)＝x－1－ln (x＋1)，x>0，

则h′(x)＝1－>0，∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增．

又h(2)<0，h(3)>0，根据零点存在性定理，可知h(x)在(0，＋∞)上有唯一零点，设该零点为x0，则x0－1＝ln (x0＋1)，且x0∈(2,3)，

∴

又a>x0＋2，a∈Z，∴a的最小值为5.