已知不等式x2-ax+a-2＞0的解集为(-∞.x1)∪(x2+∞).其中x1＜0＜x2.则${x 1}+{x 2}+\frac{2}{x 1}+\frac{2}{x 2}$的最大值为( )A．$\frac{3}{2}$B．0C．2D．$-\frac{3}{2}$ 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．已知不等式x²-ax+a-2＞0的解集为（-∞，x₁）∪（x₂+∞），其中x₁＜0＜x₂，则${x_1}+{x_2}+\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}$的最大值为（　　）

A．

$\frac{3}{2}$

B．

C．

D．

$-\frac{3}{2}$

分析根据不等式x²-ax+a-2＞0的解集，得出x₁x₂=a-2＜0，求出${x_1}+{x_2}+\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}$=（a-2）+$\frac{4}{a-2}$+4；利用基本不等式求出它的最大值即可．

解答解：不等式x²-ax+a-2＞0的解集为（-∞，x₁）∪（x₂，+∞），其中x₁＜0＜x₂，
∴x₁x₂=a-2＜0，
∴${x_1}+{x_2}+\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}$=（x₁+x₂）+$\frac{2（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=a+$\frac{2a}{a-2}$
=a+$\frac{2a-4+4}{a-2}$
=a+2+$\frac{4}{a-2}$
=（a-2）+$\frac{4}{a-2}$+4；
又a-2＜0，∴-（a-2）＞0，
∴-（a+2）-$\frac{4}{a-2}$≥2$\sqrt{-（a-2）•\frac{-4}{a-2}}$=4，
当且仅当-（a-2）=-$\frac{4}{a-2}$，即a=0时，取“=”；
∴（a-2）+$\frac{4}{a-2}$+4≤-4+4=0，
即${x_1}+{x_2}+\frac{2}{x_1}+\frac{2}{x_2}$的最大值为0．
故选：B．

点评本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合性题目．

练习册系列答案

16．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数，-π＜α＜0），曲线C₂的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=5+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线C₁的极坐标方程和曲线C₂的普通方程；
（2）射线θ=-$\frac{π}{4}$与曲线C₁的交点为P，与曲线C₂的交点为Q，求线段PQ的长．

13．

如图：区域A是正方形OABC（含边界），区域B是三角形ABC（含边界）．
（Ⅰ）向区域A随机抛掷一粒黄豆，求黄豆落在区域B的概率；
（Ⅱ）若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点（x，y）落在区域B的概率．

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（0，1，1），$\overrightarrow{b}$=（1，2，0），则同时与$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$垂直的单位向量$\overrightarrow{e}$=（　　）

	A．	$（-\frac{{\sqrt{6}}}{3}，\frac{{\sqrt{6}}}{6}，-\frac{{\sqrt{6}}}{6}）$		B．	$（\frac{{\sqrt{6}}}{3}，-\frac{{\sqrt{6}}}{6}，-\frac{{\sqrt{6}}}{6}）$或$（\frac{{\sqrt{6}}}{3}，-\frac{{\sqrt{6}}}{6}，\frac{{\sqrt{6}}}{6}）$
	C．	$（\frac{{\sqrt{6}}}{3}，-\frac{{\sqrt{6}}}{6}，\frac{{\sqrt{6}}}{6}）$		D．	$（-\frac{{\sqrt{6}}}{3}，\frac{{\sqrt{6}}}{6}，-\frac{{\sqrt{6}}}{6}）$或$（\frac{{\sqrt{6}}}{3}，-\frac{{\sqrt{6}}}{6}，\frac{{\sqrt{6}}}{6}）$

10．