Question

设

a

、

b

、

c

是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：
①（

a

•

b

）

c

-（

c

•

a

）

b

=

0

； ②|

a

|-|

b

|＜|

a

-

b

|③（

b

•

c

）

a

-（

c

•

a

）

b

不与

c

垂直； ④（3

a

+2

b

）•（3

a

-2

b

）=9|

a

|²-4|

b

|²中，是真命题的有（　　）

• A、①②
• B、②③
• C、③④
• D、②④

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：两个向量数量积的几何意义可得①不成立，由两个向量加减法的意义可得②正确．根据两个向量垂直的性质可得③不正确．根据两个向量数量积公式可得④正确，从而得出结论．

解答： 解：由题意可得（

a

•

b

）

c

表示与

c

共线的向量，（

c

•

a

）

b

表示与

b

共线的向量，故①不成立．
由两个向量加减法的意义、三角形任意两边之差小于第三边可得 ②|

a

|-|

b

|＜|

a

-

b

|正确．
由[（

b

•

c

）

a

-（

c

•

a

）

b

]•

c

=（

b

•

c

）（

a

•

c

）-（

c

•

a

）（

b

•

c

）=0，
故（

b

•

c

）

a

-（

c

•

a

）

b

与

c

垂直，故③不正确．
由于（3

a

+2

b

）•（3

a

-2

b

）=9

a

2-4

b

2=9|

a

|²-4|

b

|²，故④正确．
故选D．

点评：本题主要考查两个向量数量积公式，两个向量数量积的几何意义和运算性质，两个向量垂直的性质，属于中档题．