Question

已知函数f（x）=-2x²+2ax-4a-a²，其中x∈[0，1]．
（1）当a=1时，求函数f（x）在给定区间上的最小值；
（2）若f（x）在给定区间内有最大值-5，求a的值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当a=1时，f（x）=-2(x-

1

2

)2-

9

2

，结合二次函数的图象和性质，可得函数f（x）在给定区间上的最小值；
（2）若f（x）在给定区间内有最大值-5，分当

a

2

≥1即a≥2时，当0≤a＜2时，当a＜0时，求出满足条件的a值，综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：（1）当a=1时，
f（x）=-2x²+2ax-4a-a²=-2x²+2x-5=-2(x-

1

2

)2-

9

2

，
其图象如下图所示：由图象观察知

当x=0或x=1时，f（x）取最小值为-5，
（2）f(x)=-2(x-

a

2

)2-4a-

a2

2

1）当

a

2

≥1即a≥2时

f（x）_max=f（1）=-2-2a-a²=-5，解得：a=-3或1，
此时不存在满足条件的a值；
2）当0≤a＜2时，
f(x)max=f(

a

2

)=-4a-

a2

2

=-5，解得：a=

-4+ 26

2

∴a=

-4+ 26

2

；
3）当a＜0时

f（x）_max=f（0）=-4a-a²=-5，解得：a=1或-5，
∴a=-5
综合1）2）3）知a=-5或

-4+ 26

2

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．