Question

若

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=(sinωx，0)，（ω＞0）且函数f（x）=（

a

+

b

）•

b

-

1

2

的最小正周期为π．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）若函数y=f（

x

2

+

π

3

），x∈(

π

2

，3π)的图象与直线y=a的交点的横坐标成等比数列，试求实数a的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）由已知根据平面向量数量积的运算，化简可求ω的值，从而可求f（x）的表达式．
（2）先求得函数y的解析式，设函数的图象与y=a的图象有三个交点的横坐标为：（x₁，a），（x₂，a），（x₃，a），且

π

2

＜x₁＜x₂＜x₃＜3π．结合图象的对称性有

x22=x1x3 x1+x2=2π x2+x3=4π

，解得x2=

4π

3

，从而求得a的值．

解答： 解：（1）∵

a

=(

3

cosωx，sinωx)，

b

=(sinωx，0)，
∴f（x）=（

a

+

b

）•

b

-

1

2

=（

3

cosωx+sinωxx，sinωx）•（sinω，0）
=

3

sinωxcosωxx+sin²ωx-

1

2

=sin（2ωx-

π

6

）．（4分）
由题意可知其周期为π，
∴

2π

2ω

=π，
故ω=1，
则f（x）=sin（2x-

π

6

），
（2）y=f（

x

2

+

π

3

）=sin[2（

x

2

+

π

3

）-

π

6

]=sin（x+

π

2

）=cosx，
设函数y=cosx（x∈（

π

2

，3π））的图象与y=a的图象有三个交点的横坐标为：
（x₁，a），（x₂，a），（x₃，a），且

π

2

＜x₁＜x₂＜x₃＜3π．
则由已知，结合图象的对称性有

x22=x1x3 x1+x2=2π x2+x3=4π

，解得x2=

4π

3

，
∴a=cos

4π

3

=-

1

2

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，综合性较强，属于中档题．