Question

已知函数f（t）=t+

1

t

-

3

2

，t∈[

1

2

，2]．
（1）求f（t）的值域G；
（2）若对于G内的所有实数x，不等式-x²+x+2m²≥1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的值域

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）首先根据不同的定义域利用分类讨论的方法分别用均值不等式和导数分别求出函数的值域．
（2）利用第一步的结论，利用分离参数的方法，根据恒成立问题求出参数的取值范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=t+

1

t

-

3

2

  t∈[

1

2

，2]
设g（t）=t+

1

t

  t∈[

1

2

，2]
①利用均值不等式g(t)min=2

t• 1 t

=2（当且仅当t=1）
②当t∈[

1

2

，1)，函数g′(t)=1-

1

t2

＜0
所以函数g（t）为单调递减函数．
③在x=

1

2

时，函数g（t）_max=

5

2

当t∈（1，2]，函数g（t）_max=

5

2

综上所述函数g（t）的值域为：[2，

5

2

]
所以函数f（t）的值域为：[

1

2

，1]
（2）对于G内的所有实数x，不等式-x²+x+2m²≥1恒成立，
只需满足2m²≥（x²-x+1）_max即可．
首先确定k（x）=x²-x+1的最大值，
由于x∈[

1

2

，1]
所以函数k（x）_max=k（1）=1
所以2m²≥1
解得：m≥

2

2

或m≤-

2

2

所以m的取值范围为：m≥

2

2

或m≤-

2

2

点评：本题考查的知识要点：利用分类讨论的方法根据函数的定义域求函数的值域，恒成立问题的应用．属于中等题型．