Question

1．如图，⊙O的半径OC垂直于直径AB，M为OB上一点，CM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交AB的延长线于P．
（1）求证：PM²=PB•PA；
（2）若⊙O的半径为3，OB=$\sqrt{3}$OM，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）做出辅助线连接ON，根据切线得到直角，根据垂直得到直角，即∠ONC+∠CNP=90°且∠OCN+∠CMO=90°，根据同角的余角相等，得到角的相等关系，得到结论．
（2）本题是一个求线段长度的问题，在解题时，应用相交弦定理，即BM•MN=CM•MA，代入所给的条件，得到要求线段的长．

解答 （1）证明：连接ON，则
∵PN切⊙O于N，
∴∠ONP=90°，
∴∠ONC+∠CNP=90°
∵OC=ON，
∴∠OCN=∠ONC
∵OC⊥AB于O，
∴∠OCN+∠CMO=90°，
故∠CNP=∠CMO=∠PMN，
∴PM=PN
∴PM²=PN²=PB•PA
（2）解：∵⊙O的半径为3，OB=$\sqrt{3}$OM，
∴OM=$\sqrt{3}$，
∴CM=2$\sqrt{3}$，BM=4
∵CM•MN=AM•MB，
∴2$\sqrt{3}$MN=（3+$\sqrt{3}$）（3-$\sqrt{3}$），
∴MN=$\sqrt{3}$．

点评 本题要求证明一个PM²=PB•PA结论，实际上这是一个名叫切割线定理的结论，可以根据三角形相似对应边成比例来证明，这是一个中档题．