Question

3．已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，PA=3，AB=1，BC=$\sqrt{3}$．
（1）求二面角P-BD-A的正切值；
（2）求二面角B-PD-A的正切值．

Answer 1

分析 （1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面PBD的法向量和平面ABD的法向量，利用向量法能求出二面角P-BD-A的正切值．
（2）求出平面PBD的法向量和平面PDA的法向量，利用向量法能求出二面角B-PD-A的正切值．

解答 解：（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得P（0，0，3），B（1，0，0），D（0，$\sqrt{3}$，0），A（0，0，0），
$\overrightarrow{PB}$=（1，0，-3），$\overrightarrow{PD}$=（0，$\sqrt{3}$，-3），
设平面PBD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=x-3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=\sqrt{3}y-3z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（3，$\sqrt{3}$，1），
又平面ABD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设二面角P-BD-A的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$|=|$\frac{1}{\sqrt{13}}$|=$\frac{\sqrt{13}}{13}$，
∴tanθ=2$\sqrt{3}$，即二面角P-BD-A的正切值为2$\sqrt{3}$．
（2）平面PBD的法向量$\overrightarrow{n}$=（3，$\sqrt{3}$，1），平面PDA的法向量$\overrightarrow{p}$=（1，0，0），
设二面角B-PD-A的平面角为α，
则cosα=|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{p}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{p}|}$|=|$\frac{3}{\sqrt{13}}$|=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$，
∴tanα=$\frac{2}{3}$，即二面角B-PD-A的正切值为$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．