Question

6．已知两定点A（-2，1），B（1，3），动点P在直线x-y+1=0上，当|PA|+|PB|取最小值时，这个最小值为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 3
• C． $\sqrt{13}$
• D． $\sqrt{17}$

Answer 1

分析 设点A（-2，1）关于直线x-y+1=0的对称点A′（m，n）．利用轴对称的性质可得A′的坐标．连接A′B与直线相交于点P，则|PA|+|PB|的最小值为|A′B|．利用两点间的距离公式即可得出|PA|+|PB|的最小值．

解答 解：设点A（-2，1）关于直线x-y+1=0的对称点A′（m，n）．
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-2+m}{2}-\frac{1+n}{2}+1=0}\\{\frac{n-1}{m+2}=-1}\end{array}\right.$，
解得m=0，n=-1，
连接A′B与直线相交于点P，则|PA|+|PB|的最小值为|A′B|=$\sqrt{（1-0）^{2}+（3+1）^{2}}$=$\sqrt{17}$．
故选：D．

点评 本题考查了最小值问题转化为轴对称问题，考查了相互垂直的直线斜率之间的关系和中点坐标公式，属于中档题．