题目内容
(本小题满分14分) 已知函数
，(x>0)．
（1）当0<a<b，且f(a)=f(b)时，求
的值 ；
（2）是否存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a，b]，若存在，求出a，b的值，若不存在，请说明理由．
（3）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域为 [a，b]时，值域为 [ma，mb]，(m≠0)，求m的取值范围．
（14分）（1）
．
（2）不存在满足条件的实数a，b．
（3）
【解析】（14分）解：（1） ∵x>0，∴
∴f(x)在（0，1）上为减函数，在
上是增函数．
由0<a<b，且f(a)=f(b)，可得 0<a
1<b和
．即．
……………………3分
（2）不存在满足条件的实数a，b．
若存在满足条件的实数a，b，使得函数y=
的定义域、值域都是[a，b]，
则a>0． 而
①当
时，
在（0，1）上为减函数．
故
即 
解得 a=b．
故此时不存在适合条件的实数a，b．
②当
时，
在
上是增函数．
故
即 
此时a，b是方程
的根，此方程无实根．
故此时不存在适合条件的实数a，b．
③当
，
时，由于
，而
，
故此时不存在适合条件的实数a，b．
综上可知，不存在适合条件的实数a，b． …………………………8分
（3）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域为[a，b]时，值域为[ma，mb]．
则a>0，m>0．
①
当时，由于f(x)在（0，1）上是减函数，故
．此时得a=b，不符合题意，所以a，b不存在．
②
当，时，由（2）知0在值域内，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．
故只有
．
∵在上是增函数，
∴
即 
所以a、b是方程
的两个根．
即关于x的方程有两个大于或等于1的相异实根．
设这两个根为
、
，则+=
，·=．
∴
即 
解得 ．
故m的取值范围是． ……………………………14分
高中必刷题系列答案
(a＞b＞0)，曲线C2的方程为y=
，且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。（1）试用a表示点P的坐标；（2）设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积函数S(a)的值域；（3）记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。
=2，点（
）在函数
的图像上，其中
=
.
}是等比数列；
，求
及数列{
}的通项公式；
，求数列{
}的前n项和
，并证明
.
天(
)的销售价格(单位：元)为
，第
，已知该商品成本为每件25元.
关于第
的图像在点
处的切线与直线
平行.
，
满足的关系式；
上恒成立，求
（
）