Question

20．已知 函数F（x）=$\frac{a}{3}$x³+$\frac{b}{2}$x²+x（a＞0），f（x）=F′（x），若f（-1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立．
（1）求F（x）表达式；
（2）若h（x）=F（x）+$\frac{t}{2}$x²+（2t-1）x，求h（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a，b的不等式组，求出a，b的值即可；（2）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．

解答 解：（1）F′（x）=f（x）=ax²+bx+1，
则有$\left\{\begin{array}{l}{a-b+1=0}\\{{b}^{2}-4a≤0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
所以F（xx）=$\frac{1}{3}$x³+x²+x；
（2）因为h（x）=F（x）+$\frac{t}{2}$x²+（2t-1）x，
所以h′（x）=x²+（2+t）x+2t，
所以：当t=2时h′（x）≥0恒成立，
所以h（x）的单调递增区间为R，无单调递减区间，
当t＞2时，-t＜-2，由h′（x）≥0，得：x≥-2或x≤-t，
h（x）的单调递增区间为[-2，+∞），（-∞，-t]；单调递减区间为[-2，-t]，
当t＜2时，-t＞-2，由h′≥0，得：x≥-t或x≤-2，
h（x）的单调递增区间为[-t，+∞），（-∞，-2]；单调递减区间为[-t，-2]．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．