题目内容
11．已知数列{an}各项均为正整数，首项为a1=1，an2-an-12=an+an-1（n≥2）（1）求证{an}是等差数列并求{an}的通项公式；
（2）记bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$求证：数列{bn}的前n项和Sn＜1．
分析 由an2-an-12=an+an-1可得an-an-1=1，从而证明并求通项公式；
（2）化简bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，从而利用裂项求和法求其前n项和．
解答 解：（1）∵an2-an-12=an+an-1，
∴（an-an-1）（an+an-1）=an+an-1，
∵数列{an}各项均为正整数，
∴an-an-1=1，
∴{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴an=n；
（2）证明：bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
故Sn=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=1-$\frac{1}{n+1}$＜1；
故Sn＜1．
点评 本题考查了方程的思想的应用及裂项求和法的应用．
练习册系列答案
相关题目
1．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a5•a6=4，则数列{log2an}的前10项和为（ ）
| A． | 5 | B． | 6 | C． | 10 | D． | 12 |
2．若α是第二象限角，$tan（\frac{π}{3}+α）=\frac{4}{3}$，则$cos（\frac{π}{3}+α）$=（ ）
| A． | $-\frac{3}{5}$ | B． | $\frac{3}{5}$ | C． | $\frac{4}{5}$ | D． | $±\frac{3}{5}$ |
6．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若椭圆上存在一点P（非左、右顶点）使$\frac{a}{|P{F}_{2}|}$=$\frac{c}{|P{F}_{1}|}$，该椭圆的离心率取值范围为（ ）
| A． | （$\sqrt{2}-1$，1） | B． | [$\sqrt{2}$-1，1） | C． | （2-$\sqrt{2}$，1） | D． | [2-$\sqrt{2}$，1） |
3．若P（x，y）在不等式组$\left\{\begin{array}{l}{3x+y-8≤0}\\{x+2y-1≥0}\\{2x-y-2≥0}\end{array}\right.$所表示的平面区域内，则$\frac{1}{2}$x2+$\frac{1}{2}$y2的最大值为（ ）
| A． | 4 | B． | 5 | C． | $\sqrt{2}$ | D． | $\frac{\sqrt{10}}{2}$ |