Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n满足Sn=n2+bn(b为常数），且对于任意的k∈N^*，a_k，a_2k，a_4k成等比数列，数列{

1

anan+1

}的前n项和为Tn(n∈N*)
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）求使不等式Tn＜

6

25

成立的n最大值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的通项公式,数列的求和

专题：计算题

分析：（1）根据Sn=n2+bn，利用a_n=S_n-S_n-1，结合对于任意的k∈N^*，a_k，a_2k，a_4k成等比数列，可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用裂项法求和，根据Tn＜

6

25

，即可求得n最大值．

解答： 解：（1）∵an=sn-sn-1=n2+bn-(n-1)2-b(n-1)=2n+b-1，（n≥2）
当n=1时，a₁=s₁=1+b，
故a_n=2n+b-1…（2分）
由a_k，a_2k，a_4k成等比数列可得：（4k+b-1）²=（2k+b-1）（8k+b-1）
化简得：2k（b-1）=0，因为对于任意的k∈N^*恒成立，
所以b=1，所以a_n=2n…（5分）
（2）由（1）得a_n=2n
所以Tn=

1

4

(

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n×(n+1)

)=

1

4

(1-

1

n+1

)=

n

4(n+1)

…（8分）
若Tn＜

6

25

，即

n

4(n+1)

＜

6

25

，
所以n＜24，故n=23…（10分）

点评：本题重点考查数列的通项，考查裂项法求和，考查解不等式，解题的关键是利用a_n=S_n-S_n-1，求通项．