Question

20．己知直线l₁与l₂均过点M（4，2），且l₁⊥l₂，l₁与₂分别和x，y轴交于A，B两点，点P是线段AB的中点，则|OP|的最小值是（　　）

• A． 2
• B． 5
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{\sqrt{13}}{2}$

Answer 1

分析 分类讨论，求出|OP|，即可求出|OP|的最小值．

解答 解：当直线l₁斜率不存在时，|OP|=$\frac{1}{2}$|OM|=$\sqrt{5}$；
当直线l₁斜率存在时，可设其方程为y-2=k（x-4）．令y=0，得A（4-$\frac{2}{k}$，0）．
因与l₂互相垂直，故l₂方程为y-2=-$\frac{1}{k}$（x-4）．令x=0，得B（0，$\frac{4}{k}$+2）．
∴|AB|=$\sqrt{（4-\frac{2}{k}）^{2}+（\frac{4}{k}+2）^{2}}$=$\sqrt{\frac{20}{{k}^{2}}+20}$＞2$\sqrt{5}$，
∴|OP|＞$\sqrt{5}$，
∴|OP|的最小值是$\sqrt{5}$．
故选：C．

点评 此题考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，考查了分类讨论的数学思想，同时要求学生掌握圆的一些基本性质，灵活运用两点间的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．学生做题时不要忽视斜率不存在时的情况．