Question

已知函数f（x）在（-1，1）上有定义，且f（

1

5

）=

1

2

．对任意x，y∈（-1，1）都有f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

），当且仅当-1＜x＜0时，f（x）＞0．
（1）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并说明理由；
（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并说明理由；
（3）试求f（

1

2

）-f（

1

11

）-f（

1

19

）的值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性；
（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）在（0，1）上的单调性；
（3）根据函数奇偶性以及抽象函数之间的关系即可得到结论．

解答： 解：（1）证明：取x=y=0⇒f（0）=0，f（-x）+f（x）=f（0）=0⇒f（-x）=-f （x），又定义域对称，
故f（x）是（-1，1）上的奇函数．
（2）任取x₁，x₂∈（0，1），且0＜x₁＜x₂＜1．
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（

x2-x1

1-x1x2

）=-f（

x1-x2

1-x1x2

  ）
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴（1-x₁x₂）-（x₂-x₁）=（1+x₁）（1-x₂）＞0⇒1-x₁x₂＞x₂-x₁＞0⇒0＜

x2-x1

1-x1x2

＜1，
∴-1＜

x1-x2

1-x1x2

＜0，
∴f（

x1-x2

1-x1x2

）＞0，
∴-f（

x1-x2

1-x1x2

）＜0，
即f（x₂）＜f（x₁）．
故f（x）是（0，1）上的减函数．
（3）f（

1

2

）-f（

1

11

）=f（

1

2

）+f（-

1

11

）=f （

1 2 - 1 11

1- 1 2 × 1 11

）=f（

3

7

），
∴f（

3

7

）-f（

1

19

）=f（

3 7 - 1 19

1- 3 7 × 1 19

）=f（

5

13

）．
而f（

1

5

）+f（

1

5

）=f（

1 5 + 1 5

1- 1 5 × 1 5

）=f（

5

13

）⇒f（

5

13

）=2×f（

1

5

）=1，
∴f（

1

2

）-f（

1

11

）-f（

1

19

）=1．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，根据函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．综合考查函数的性质的应用．