Question

设x₁，x₂是函数f（x）=ax²+（b-1）x+1（a，b∈R，a＞0）的两个零点
（1）如果x₁＜2＜x₂＜4，求f（-2）的取值范围；
（2）如果1＜x₁＜2，x₂-x₁=2，求证：b＜

1

4

；
（3）如果a≥2，x₂-x₁=2，且x∈（x₁，x₂），函数g（x）=-f（x）+2（x₂-x）的最大值为h（a），求h（a）的最小值．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）由x₁＜2＜x₂＜4即得

4a+2b-1＜0 16a+4b-3＞0

，由这两个不等式容易得到4a-2b＞0，而f（-2）=4a-2b+3，所以便得到f（-2）＞3；
（2）由

x1+x2= 1-b a x1x2= 1 a

便可求得b=-

1

x1

-

1

x2

+1，x₂=x₁+2，所以b=-

1

x1

-

1

x1+2

+1，设φ（x）=-

1

x

-

1

x+2

+1，通过求导容易判断φ（x）在（0，+∞）单调递增，所以b＜φ（2）=

1

4

；
（3）x₁，x₂是f（x）的两个零点，所以可设f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），这样便得到g（x）=a(x2-x)(x-x1+

2

a

)，而根据基本不等式即可得到g（x）≤a+

1

a

+2，所以h（a）=a+

1

a

+2，求导能够判断出h（a）在[2，+∞）上单调递增，所以h（a）的最小值便是h（2）．

解答： 解：（1）由已知条件知：

f(2)=4a+2b-1＜0 ① f(4)=16a+4b-3＞0 ②

；
∴①×（-3）+②得，4a-2b＞0；
∴f（-2）=4a-2b+3＞3；
∴f（-2）的取值范围为（3，+∞）；
（2）证明：∵

x1+x2= 1-b a   x1x2= 1 a

；
∴两式相除得，1-b=

1

x1

+

1

x2

；
∴b=-

1

x1

-

1

x2

+1；
x₂=x₁+2带入上式得，b=-

1

x1

-

1

x1+2

+1；
令φ（x）=-

1

x

-

1

x+2

+1（x＞0），φ′（x）=

1

x2

+

1

(x+2)2

＞0；
∴φ（x）在（0，+∞）上单调递增；
∵1＜x₁＜2；
∴b=φ（x₁）＜φ（2）=

1

4

；
∴b＜

1

4

；
（3）设f（x）=a（x-x₁）（x-x₂），g（x）=-a（x-x₁）（x-x₂）+2（x₂-x）=-a(x-x2)(x-x1+

2

a

)=a（x₂-x）（x-x1+

2

a

）；
∵x∈（x₁，x₂），a≥2；
∴x2-x＞0，x-x1+

2

a

＞0；
∴g(x)≤a•(

x2-x1+ 2 a

2

)2=a+

1

a

+2，当x=

x1+x2

2

-

1

a

=

-b-1

2a

时取“=”；
∴h（a）=a+

1

a

+2，a≥2；
a≥2时，h′(a)=1-

1

a2

＞0；
∴h（a）在[2，+∞）上单调递增；
∴h（2）=

9

2

是h（a）的最小值．

点评：考查根据二次函数图象判断函数的符号，韦达定理，以及根据函数导数符号判断函数单调性的方法，基本不等式，根据函数单调性求函数的最值．