Question

15．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+x，y=f′（x）为f（x）的导函数，设h（x）=lnf′（x），若对于一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 利用不等式恒成立的条件，把恒成立问题转化为求函数最值问题解决

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+x，
∴f′（x）=x²-2x+1=（x-1）²，
∴h（x）=lnf′（x）=ln（x-1）²，
当x∈[0，1]时，h（x）=2ln（1-x）
此时不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，
则有2ln（t-x）＜2ln（-2x-1）
∴0＜t-x＜-2x-1，
可得t＞x且t＜-x-1，
又由x∈[0，1]，
则有-1＜t＜0，
∴t的取值范围是（-1，0）．

点评 本题考查了导数的运算法则和恒成立的问题，以及对数函数的性质，属于中档题．