Question

命题P：?x∈（1，+∞），m≤x+

4

x-1

命题q：抛物线x²=4y与直线y=x+m没有公共点．
（Ⅰ）写出命题P的否定；
（Ⅱ）如果命题P或q为真命题，P且q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：（Ⅰ）直接写出命题p的否定即可；
（Ⅱ）先求出关于命题P，q的m的范围，通过讨论p真q假或p假q真，得到不等式组，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）命题p的否定是：?x₀∈（1，+∞），m＞x+

4

x-1

，
（Ⅱ）若命题P：?x∈（1，+∞），m≤x+

4

x-1

成立，
令f（x）=x+

4

x-1

=x-1+

4

x-1

+1≥2

(x-1)• 4 x-1

+1=5，当且仅当x=3时“=”成立，
∴命题P：m＞5，￢P：m≤5，
若命题q：抛物线x²=4y与直线y=x+m没有公共点成立，
由

x2=4y y=x+m

得：x²-4x-4m=0，△=16+16m＜0，解得：m＜-1，
∴命题q：m＜-1，￢q：m≥-1，
如果命题P或q为真命题，P且q为假命题，
则p真q假或p假q真，
若p真q假，则

m＞5 m≥-1

，∴m＞5，
若p假q真，则

m≤5 m＜-1

，∴m＜-1，
∴m＞5或m＜-1．

点评：本题考查了命题的否定，考查了复合命题的真假问题，考查了函数恒成立问题，是一道中档题．