Question

已知函数f（x）=

-x2，x≥0 x2+2x，x＜0

，则不等式f（f（x））≤3的解集为

 

．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：函数f（x）=

-x2，x≥0 x2+2x，x＜0

，是一个分段函数，故可以将不等式f（f（x））≤3分类讨论，分x≥0，-2＜x＜0，x≤-2三种情况，分别进行讨论，综合讨论结果，即可得到答案．

解答： 解：当x≥0时，f（f（x））=f（-x²）=（-x²）²-2x²≤3，即（x²-3）（x²+1）≤0，解得0≤x≤

3

，
当-2＜x＜0时，f（f（x））=f（x²+2x）=（x²+2x）²+2（x²+2x）≤3，即（x²+2x-1）（x²+2x+3）≤0，解得-2＜x＜0，
当x≤-2时，f（f（x））=f（x²+2x）=-（x²+2x）²≤3，解得x≤-2，
综上所述不等式的解集为（-∞，

3

]
故答案为：（-∞，

3

]

点评：本题考查的知识点是分段函数的解析式，及不等式的解法，其中根据分段函数分段处理的原则，需要进行分类讨论，是解答本题的关键．