题目内容
若有穷数列{an}满足：a1=an，a2=an-1，…，an=a1，即ai=an-i+1（i是正整数，且1≤i≤n）就称数列{an}为对称数列．
（1）已知数列{bn}是项数为7的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1=2，b4=11，试写出数列{bn}的每一项；
（2）已知数列{cn}是项数为2k-1（k＞1）的对称数列，且ck，ck+1，ck+2，…，c2k-1构成首项为50，公差为-4的等差数列，数列{cn}的前2k-1项和为s2k-1，问k为何值时s2k-1取得最大值，最大值为多少？
（3）对于给定的正整数m＞1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1、3、5、…、2m-1成为数列中的连续项，当m≥1500时，试求其中一个数列的前2014项和s2014．
（1）已知数列{bn}是项数为7的对称数列，且b1，b2，b3，b4成等差数列，b1=2，b4=11，试写出数列{bn}的每一项；
（2）已知数列{cn}是项数为2k-1（k＞1）的对称数列，且ck，ck+1，ck+2，…，c2k-1构成首项为50，公差为-4的等差数列，数列{cn}的前2k-1项和为s2k-1，问k为何值时s2k-1取得最大值，最大值为多少？
（3）对于给定的正整数m＞1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1、3、5、…、2m-1成为数列中的连续项，当m≥1500时，试求其中一个数列的前2014项和s2014．
考点：数列递推式
专题：综合题,等差数列与等比数列
分析：（1）设{bn}的公差为d，由b1，b2，b3，b4成等差数列求解d从而求得数列{bn}，
（2）先得到S2k-1=-4（k-13）2+4×132-50，用二次函数求解，
（3）按照1，3，5…，2m-1是数列中的连续项按照定义，用组合的方式写出来所有可能的数列，再按其数列的规律求前n项和取符合条件的一组即可．
（2）先得到S2k-1=-4（k-13）2+4×132-50，用二次函数求解，
（3）按照1，3，5…，2m-1是数列中的连续项按照定义，用组合的方式写出来所有可能的数列，再按其数列的规律求前n项和取符合条件的一组即可．
解答：
解：（1）设{bn}的公差为d，则b4=b1+3d=2+3d=11，解得d=3，
∴数列{bn}为2，5，8，11，8，5，2．
（2）S2k-1=c1+c2+…+ck-1+ck+ck+1+…+c2k-1=2（ck+ck+1+…+c2k-1）-ck，
∴S2k-1=-4（k-13）2+4×132-50，
∴当k=13时，S2k-1取得最大值．S2k-1的最大值为626．
（3）所有可能的“对称数列”是：
①1，3，5，…，2m-1，2m-3，…，5，3，1；
②1，3，5，…，2m-1，2m-1，2m-3，…，5，3，1；
③2m-1，2m-3，…，5，3，1，3，5，…，2m-3，2m-1；
④2m-1，2m-3，…，5，3，1，1，3，5，…，2m-3，2m-1．
对于①，当m≥2014时，S2014=1+3+5+…+（2×2014-1）=20142．
当1500≤m≤2013时，S2014=1+3+…+（2m-1）+（2m-3）+…+（4m-4029）=m2+
=m2+（2014-m）（3m-2016）．
对于②，当m≥2014时，S2014=20142．
当1500≤m≤2013时，S2014=m2+（2014-m）（3m-2014）．
对于③，当m≥2014时，S2014=4028m-20142．
当1500≤m≤2013时，S2014=m2+（2014-m）（2016-m）．
对于④，当m≥2014时，S2014=4028m-20142．
当1500≤m≤2013时，S2014=m2+（2014-m）2．
∴数列{bn}为2，5，8，11，8，5，2．
（2）S2k-1=c1+c2+…+ck-1+ck+ck+1+…+c2k-1=2（ck+ck+1+…+c2k-1）-ck，
∴S2k-1=-4（k-13）2+4×132-50，
∴当k=13时，S2k-1取得最大值．S2k-1的最大值为626．
（3）所有可能的“对称数列”是：
①1，3，5，…，2m-1，2m-3，…，5，3，1；
②1，3，5，…，2m-1，2m-1，2m-3，…，5，3，1；
③2m-1，2m-3，…，5，3，1，3，5，…，2m-3，2m-1；
④2m-1，2m-3，…，5，3，1，1，3，5，…，2m-3，2m-1．
对于①，当m≥2014时，S2014=1+3+5+…+（2×2014-1）=20142．
当1500≤m≤2013时，S2014=1+3+…+（2m-1）+（2m-3）+…+（4m-4029）=m2+
| (2014-m)[(2m-3)+(4m-4029)] |
| 2 |
对于②，当m≥2014时，S2014=20142．
当1500≤m≤2013时，S2014=m2+（2014-m）（3m-2014）．
对于③，当m≥2014时，S2014=4028m-20142．
当1500≤m≤2013时，S2014=m2+（2014-m）（2016-m）．
对于④，当m≥2014时，S2014=4028m-20142．
当1500≤m≤2013时，S2014=m2+（2014-m）2．
点评：本题一道新定义题，这样的题做法是严格按照定义要求，将其转化为已知的知识和方法去解决，本题涉及到等差数列的通项公式，等比数列求和，构造数列等知识．
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