题目内容
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若方程f（x）=x无实根，求证：方程f（f（x））=x也无实根．
考点：函数的零点
专题：函数的性质及应用
分析：利用二次函数的性质和一元二次方程无实数根与判别式的关系即可得出．
解答：
证明：∵f（x）=ax2+bx+c（a≠0）
方程f（x）=x 即f（x）-x=ax2+（b-1）x+c=0无实根，f（x）-x仍是二次函数，f（x）-x=0仍是二次方程，且无实根，∴△＜0．
若a＞0，则函数y=f（x）-x的图象在x轴上方，∴y＞0，即f（x）-x＞0恒成立，即：f（x）＞x对任意实数x恒成立．
∴对f（x），有f（f（x））＞f（x）＞x恒成立，∴f（f（x））=x无实根．
方程f（x）=x 即f（x）-x=ax2+（b-1）x+c=0无实根，f（x）-x仍是二次函数，f（x）-x=0仍是二次方程，且无实根，∴△＜0．
若a＞0，则函数y=f（x）-x的图象在x轴上方，∴y＞0，即f（x）-x＞0恒成立，即：f（x）＞x对任意实数x恒成立．
∴对f（x），有f（f（x））＞f（x）＞x恒成立，∴f（f（x））=x无实根．
点评：本题考查了二次函数的性质和一元二次方程无实数根与判别式的关系，属于难题．
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