Question

【题目】如图在四棱锥中底面为直角梯形，，，侧面为正三角形且平面底面，，分别为的中点.

（1）证明：平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）首先取中点，连接，再证明平面平面，根据面面平行的性质即可证明平面.

（2）首先取中点，连接，根据平面底面得到底面，以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量计算与平面所成角即可.

（1）如图所示：

取中点，连接，

因为为中位线，

所以，

因为平面，所以平面.

因为，

又因为，所以.

所以四边形为平行四边形，

所以，

因为平面，所以平面.

因为平面，平面，，

所以平面平面.

因为平面，平面，

所以平面.

（2）取中点，连接.

因为，所以.

因为平面底面，

所以底面.

以为坐标原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，

如图所示：

设，，，，

，，.

所以，，，

设平面的一个法向量为，

则，即，

可取，解得，.

则，

.