Question

【题目】如图，正方体的棱长为，点、为棱、的中点.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，连接、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可证明出平面；

（2）取的中点，连接、、、、，证明出、、、四点共面，利用等体积法计算出点到平面的距离，即为所求.

（1）取的中点，连接、，

在正方体中，且，

、分别为、的中点，且，

四边形为平行四边形，，

平面，平面，平面，

、分别为、的中点，，

平面，平面，平面，

，平面平面，

平面，平面；

（2）取的中点，连接、、、、，

、分别为、的中点，，

在正方体中，且，

所以，四边形是平行四边形，，，

、、、四点共面，

的面积为，

平面，三棱锥的体积为.

由勾股定理得，，.

在中，，

，

的面积为，

设点到平面的距离为，由，

即，解得.

因此，点到平面的距离为.