Question

【题目】如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是正方形，梯形底面ABCD，且．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求直线AF与平面CDE所成角的大小．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）由已知结合面面垂直的性质可得，在梯形ADEF中，求解三角形得，再由线面垂直的判定可得平面ABF，进一步得到平面平面CDF；

（Ⅱ）以A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，求出平面CDE的一个法向量，再求出的坐标，由与平面CDE的法向量所成角的余弦值可得直线AF与平面CDE所成角的大小．

（Ⅰ）证明：∵梯形底面ABCD，且梯形底面，

又，

平面，

，

在梯形ADEF中，过F作，垂足为G，

设，可得，

则，，

，

则，

即，

又，且平面，

平面ABF，

而平面CDF，

∴平面平面CDF；

（Ⅱ）解：以A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，，

设平面CDE的一个法向量为，

由，

取，得．

设直线AF与平面CDE所成角的大小为，则，

，

即直线AF与平面CDE所成角的大小为．