Question

【题目】已知函数，.

（1）令，若曲线在点处的切线的纵截距为，求的值；

（2）设，若方程在区间内有且只有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）6；（2）

【解析】

（1）求得在点处的切线方程，根据切线的截距为列方程，解方程求得的值.

（2）将方程转化为，构造函数，利用研究函数在内的零点，结合零点存在性定理列不等式组，解不等式组求得的取值范围.

（1）由题设知，

，，

则；

∴，又，

∴切点为，

则切线方程为，

令，则，

由题设知，，

∴；

（2）∵，∴，

则方程，

即为，

即为；

令，于是原方程在区间内根的问题，

转化为函数在内的零点问题；

∵

；

∵，∴当时，

，是减函数，

当时，，是增函数，

若使在内有且只有两个不相等的零点，

只需即可，

解得，，

即的取值范围是.