Question

已知f（x）=

px2+2

q+x

是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，f（2）=5．
（1）求p、q的值；
（2）求f（x）的值域；
（3）若方程f（x）=a在区间[

1

2

，3]上恒有两个不同的实根，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（x）在其定义域内是奇函数，可得f（-x）=-f（x），f（2）=5，列式求出p、q的值即可；
（2）求出f（x）的解析式，分x＜0和x＞0两种情况求出f（x）的取值范围，然后取并集即可；
（3）求出f（x）在区间[

1

2

，3]上的取值范围，然后根据题意，求出a的取值范围即可．

解答： 解：（1）根据f（x）在其定义域内是奇函数，
可得f（-x）=-f（x），f（2）=5，
所以

px2+2 q-x =- px2+2 q+x 4p+2 q+2 =5

，
解得p=2，q=0，f（x）=2x+

2

x

；
（2）x＜0时，f（x）=2x+

2

x

=-[（-2x）+（-

2

x

）]≤-2

(-2x)(- 2 x )

=-4，
x＞0时，f（x）=2x+

2

x

≥4，
所以f（x）的值域是（-∞，-4]∪[4，+∞）．
（3）x＞0时，2x=

2

x

，即x=1时，f（x）取最小值4，
f（

1

2

）=2×

1

2

+

2

1 2

=4，f（3）=2×3+

2

3

=6

2

3

，
所以f（x）在区间[

1

2

，3]上的取值范围为[4，6

2

3

]；
根据方程f（x）=a在区间[

1

2

，3]上恒有两个不同的实根，
所以a的取值范围是[4，6

2

3

）．

点评：本题主要考查了函数奇偶性质的运用，考查了函数解析式的求法以及函数值域的求法，属于中档题．