Question

6．下列命题中正确的有（2）（3）（5）．
（1）常数数列既是等差数列也是等比数列；
（2）在△ABC中，若sin²A+sin²B=sin²C，则△ABC为直角三角形；
（3）若A，B为锐角三角形的两个内角，则tanAtanB＞1；
（4）若S_n为数列{a_n}的前n项和，则此数列的通项a_n=S_n-S_n-1（n＞1）．
（5）等比数列{a_n}的前n项和为S_n，S₂=3，S₆=63，则S₄=15．

Answer 1

分析 根据数列的定义可判断（1）；根据正弦定理可判断（2）；根据诱导公式及三角函数的单调性，可判断（3）；根据数列前n项和与通项公式的关系，可判断（4）；根据已知求出S₄，可判断（5）．

解答 解：（1）非零常数数列既是等差数列也是等比数列，故错误；
（2）在△ABC中，若sin²A+sin²B=sin²C，则a²+b²=c²，则△ABC为直角三角形，故正确；
（3）若A，B为锐角三角形的两个内角，
锐角三角形，所以A+B＞$\frac{π}{2}$即：$\frac{π}{2}$＞A＞$\frac{π}{2}$-B＞0，
所以sinA＞cosB，
同理sinB＞cosA，所以tanAtanB=$\frac{sinAsinB}{cosAcosB}$＞1，正确；
（4）若S_n为数列{a_n}的前n项和，则此数列的通项a_n=S_n-S_n-1（n＞1），a₁=S₁，（n=1），故错误．
（5）等比数列{a_n}的前n项和为S_n，S₂=3，S₆=63，
则公比q≠1，
即$\left\{\begin{array}{l}\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2}）}{1-q}=3\\ \frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}=63\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}=1\\ q=2\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}=-3\\ q=-2\end{array}\right.$
则S₄=15，故正确；
故答案为：（2）（3）（5）．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了等差（比）数列的定义，数列的和及通项公式，正弦定理等知识点，难度中档．